Bài tập đạo hàm logarit vận dụng cao

Giống như các công thức đạo hàm cơ bản thì đạo hàm logarit rất quan trọng. Phần logarit được học ở chương 2 lớp 12.  Bài viết này sẽ hệ thống các công thức đạo hàm logarit thường gặp kèm ví dụ minh họa để học sinh dễ hiểu.

Giả sử các hàm đều thảo mãn điều kiện thì ta có thể vận dụng công thức sau:

Hàm mũ

Hàm cơ bản

  • \(\left(\mathrm{e}^x\right)’=\mathrm{e}^x\)
  • \(\left(a^x\right)’=a^x.\ln a\)

Hàm hợp

  • \(\left(\mathrm{e}^u\right)’=u’.\mathrm{e}^u\)
  • \(\left(a^u\right)’=u’.a^u.\ln a\)

Bài tập vận dụng

Ví dụ : Hãy tìm đạo hàm của các hàm sau

a) $y = 6{e^x}$

b) $y = 2{e^{2x}}$

c) $y = 3{a^x}$

d) $y = 6{a^{2x}}$

Hướng dẫn giải

a) $y = 6{e^x} \Rightarrow y’ = {\left( {6{e^x}} \right)^,} = 6{e^x}$

b) $y = 2{e^{2x}} \Rightarrow y’ = {\left( {2{e^{2x}}} \right)^,} = 2{\left( {{e^{2x}}} \right)^,} = 2{\left( {2x} \right)^,}{e^{2x}} = 4{e^{2x}}$

c) $y = 3{a^x} \Rightarrow y’ = 3{a^x}.\ln \left( a \right)$

d) $y = 6{a^{2x}} \Rightarrow y’ = 6{\left( {{a^{2x}}} \right)^,} = 6.{\left( {2x} \right)^,}.{a^{2x}} = 12{a^{2x}}$

Đạo hàm ln

Hàm cơ bản

  • ${\left( {\ln |x|} \right)^,} = \frac{1}{x}$
  • ${\left( {\ln x} \right)^,} = \frac{1}{x}$

Hàm hợp

  • ${\left( {\ln |u|} \right)^,} = \frac{{u’}}{u}$
  • ${\left( {\ln u} \right)^,} = \frac{{u’}}{u}$

Bài tập vận dụng

Hãy tính đạo hàm của hàm ln có dạng sau:

a) $y = ln\left( x \right)$

b) $y = ln\left( {\left| x \right|} \right)$

c) $y = ln\left( {{x^2}} \right)$

d) $y = ln\left( {\left| {1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $y = ln\left( x \right) \Rightarrow y’ = {\left( {ln\left( x \right)} \right)^,} = \frac{1}{x}$

b) $y = ln\left( {\left| x \right|} \right) \Rightarrow y’ = \left( {ln\left( {\left| x \right|} \right)} \right) = \frac{1}{x}$

c) $y = ln\left( {{x^2}} \right) \Rightarrow y’ = {\left( {ln\left( {{x^2}} \right)} \right)^,} = \frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}^,}}}{{{x^2}}} = \frac{{2x}}{{{x^2}}}$

d) $y = ln\left( {\left| {1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = {\left( {ln\left( {\left| {1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|} \right)} \right)^,}\\ = \frac{{{{\left( {1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^,}}}{{1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\\ = \frac{{6 – \cos x}}{{1 + 6x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} \end{array}$

Hàm logarit cơ số 10

Hàm cơ bản

  • ${\left( {\log x} \right)^,} = \frac{1}{{x\ln 10}}$

Hàm hợp

  • ${\left( {\log u} \right)^,} = \frac{{u’}}{{u\ln 10}}$

Bài tập vận dụng

Hãy tìm đạo hàm của hàm log cơ số 10

a) $y = \log x$

b) $y = \log \left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)$

Hướng dẫn giải

a) $y = \log x \Rightarrow y’ = \left( {\log x} \right)’ = \frac{1}{{x\ln 10}}$

b) $y = \log \left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {\log \left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)} \right)’\\ = \frac{{\left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)’}}{{\left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)\ln 10}}\\ = \frac{{12x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\left( {6{x^2} – {\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)\ln 10}} \end{array}$

Logarit tổng quát

Hàm cơ bản

  • ${\left( {{{\log }_a}|x|} \right)^,} = \frac{1}{{x.\ln a}}$
  • ${\left( {{{\log }_a}x} \right)^,} = \frac{1}{{x.\ln a}}$

Hàm hợp

  • ${\left( {{{\log }_a}|u|} \right)^,} = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}$
  • ${\left( {{{\log }_a}u} \right)^,} = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}$

Bài tập vận dụng

a) $y = {\log _3}\left| x \right|$

b) $y = {\log _e}\left( x \right)$

c) $y = {\log _3}\left| {6x} \right|$

d) $y = {\log _e}\left( {6x} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $y = {\log _3}\left| x \right| \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_3}\left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{{x.\ln \left( a \right)}}$

b) $y = {\log _e}\left( x \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_e}\left( x \right)} \right)’\\ = \frac{1}{{x.\ln \left( e \right)}}\\ = \frac{1}{x} \end{array}$

c) $y = {\log _3}\left| {6x} \right|$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_3}\left| {6x} \right|} \right)’\\ = \frac{{\left( {6x} \right)’}}{{6x.\ln \left( 3 \right)}}\\ = \frac{1}{{x.\ln \left( 3 \right)}} \end{array}$

d) $y = {\log _e}\left( {6x} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {{{\log }_e}\left( {6x} \right)} \right)’\\ = \frac{{\left( {6x} \right)’}}{{6x.\ln \left( e \right)}}\\ = \frac{1}{x} \end{array}$

Với những chia sẻ trên, hy vọng em đã hiểu được những kiến thức cơ bản. Mọi thắc mắc về phần đạo hàm này, em hãy để lại phần comment ở phía dưới.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *