Hướng dẫn tính đạo hàm bằng định nghĩa kèm bài tập chi tiết

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của một hàm số là rất hữu dụng, nó cũng là cách cơ bản nhất về đạo hàm. Như cái tên gọi của nó, tính đạo hàm bằng định nghĩa là dựa vào lý thuyết định nghĩa đạo hàm để tính. Trong bài viết, live92news.info sẽ hướng dẫn bạn cách sử dụng định nghĩa để giải quyết dạng toán đạo hàm siêu hay.

Giả sử cho hàm số có dạng y = f(x)

1. Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm \({x_0}\)

Hướng đi 1

  • Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\) (1).
  •  Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại \({x_0}\) và ngược lại thì hàm số không có đạo hàm tại \({x_0}\).

Hướng đi 2

Tính theo số gia.\({x_0}\)y = f(x)

  • Cho \({x_0}\) một số gia\(\Delta x\): \(\Delta x = x – {x_0} \Rightarrow \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right)\).
  • Lập tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
  • Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm.

  • Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} = 0\).
  • Hàm số có đạo hàm tại điểm \({x_0}\) \( \Rightarrow \)y = f(x) liên tục tại điểm \({x_0}\).
  • Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm \({x_0}\)chưa chắc có đạo hàm tại điểm \({x_0}\).

Bài tập

Câu 1. Số gia của hàm số \(f(x) = {x^3}\) ứng với\({x_0} = 2\) và ∆x = 1 bằng bao nhiêu?

A. – 19.

B. 7.

C. 19.

D. – 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

$\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^3} – x_0^3$

Với ${x_0} = 2,\Delta x = 1 \Rightarrow \Delta y = 19$

Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định trên R+ bởi $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt x }}{x}\,khi\,x \ne 0\\ 0\,khi\,x = 0 \end{array} \right.$ Xét hai mệnh đề sau:

(I) f'(0) = 1 .

(II) Hàm số không có đạo hàm tại\({x_0} = 0\).

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Cả hai đều đúng.

D. Cả hai đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

$f’\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt x }}{x} – 0}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{x\sqrt x }} = + \infty $

Câu 3. Với hàm số \(\begin{array}{l}khi\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,x \ne 0}&{\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}}\end{array}\\khi\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,x = 0}&{}\end{array}\end{array}\).Để tìm đạo hàm f’(x) = 0 một học sinh lập luận qua các bước như sau:

1.\(\left| {f(x)} \right| = \left| x \right|.\left| {\sin \frac{\pi }{x}} \right| \le \left| x \right|\) .

2.Khi thì nên .

3.Do nên hàm số liên tục tại .

4.Từ liên tục tại\$\frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \sin \frac{\pi }{x}$(x \to 0\)\(x = 0 \Rightarrow f(x)\) có đạo hàm tại\(x = 0\).

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:

A. Bước 1.

B. Bước 2.

C. Bước 3.

D. Bước 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Một hàm số liên tục tại x0 chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa không có giới hạn khi $x \to 0$

Câu 4. Xét hàm số\(y = f(x)\) có tập xác định là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) đồng thời nếu \(x \to {x_0} \in \left[ {a;b} \right]\) thì\(f(x) \to 1\) với 3 điều kiện:

I.\(f(x)\) là hàm số liên tục trái và liên tục phải của \({x_0}\).

II.\(f({x_0}) = 1\).

III.\(f(x)\) có đạo hàm tại\({x_0}\).

Trong ba điều kiện trên, điều kiện cần và đủ để \(f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) là:

A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Chỉ I và II.

D. Chỉ II và III.

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

  • f(x) liên tục tại x0 tức là $x \to {x_0}$ thì $f\left( x \right) \to f\left( {{x_0}} \right)$ nên (I) và (II) đúng\(g(x) = \sqrt x \).
  • f(x) có đạo hàm tại x0 là điều điện đủ để f(x) liên tục tại x0. f(x) liên tục tại x0 nhưng có thể f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Câu 5. Xét ba hàm số:

I.\(f(x) = \left| x \right|.x\)

II. $g(x) = \sqrt x $

III.\(h(x) = \left| {x + 1} \right|x\)

Hàm số không có đạo hàm tại\(x = 0\)là:

A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Chỉ I và II.

D. Chỉ I và III.

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{g\left( x \right) – g\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty $. Vậy $g\left( x \right)$ không có đạo hàm tại $x = 0$.

Các em vừa tìm hiểu cách tính đạo hàm bằng định nghĩa. Ngoài ra còn nhiều dạng toán khác về đạo hàm sẽ được nêu cụ thể ở đây. Mọi thắc mắc vui lòng để lại bình luận bên dưới.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *